Апрель 2006 г.
(доработано в августе 2006 г.)
Аннотация
Рассмотрим слона. Тот факт, что слон велик, можно выразить двумя способами:
С одной стороны, слона невозможно поместить в собачью конуру.
Слон не может жить в собачьей конуре
С другой стороны, если слона поместить на тележку и начать перемещать, то для того, чтобы перемещение оказалось существенным нужно проделать довольно-таки длинный путь.
Слона невозможно существенно переместить за один шаг
Эти два подхода можно развить более детально:
Если попытаться описывать местоположение слона с помощью координат, то оказывается не вполне ясным, положение какого именно органа слона следует измерять: кому-то, например, больше нравится хобот, а кому-то — хвост. (Высокоучёный сноб тут „авторитетно“ заявит, что в такой ситуации следует измерять положение так называемого центра масс. Но разве у слона есть такой орган?).
Таким образом, при попытке охарактеризовать местоположение слона с точностью до размеров собаки мы сталкиваемся с неопределённостью его координаты. И неопределённость эта связана с тем, что слон — не моська.
При втором подходе, чтобы охарактеризовать величину слона, нет необходимости выделять у него отдельные органы и указывать на их существенную пространственную отдалённость.
Вместо этого слона следует поместить на тележку и перемещать до тех пор, пока его новое положение не перестанет перекрываться со старым. В результате такого эксперимента мы обнаружим, что необходимая величина смещения велика.
В этом смысле можно сказать, что положение слона является хорошо определённым. Ведь даже если его положение задано с существенной погрешностью, он всё равно не потеряется.
Вероятно, зоологу обсуждаемая здесь философия покажется вообще тривиальной. Но он тут будет не совсем прав.
Дело всё в том, что математика, соответствующая этим двум подходам, различна. Причём различна настолько, что для микромира квантовых частиц второй подход был реализован на 78 лет позже первого.
Как известно, всякая квантовая частица представляет из себя пакет дебройлевских волн. При определённых обстоятельствах, связанных с вероятностной природой микромира, этот волновой пакет может становиться очень маленьким и может вести себя подобно классической частице. В связи с этим, часто говорят о корпускулярно-волновом дуализме (хотя в настоящее время такая терминология представляется несколько архаичной).
В качестве слона в микромире выступает, собственно, пакет дебройлевских волн. В простейшем случае он описывается некоторой комплексной функцией от координат (то есть каждой точке пространства оказывается сопоставлено некоторое комплексное число). Эту функцию называют волновой функцией. При этом полагают, что квадрат модуля этой функции задаёт „плотность вероятности найти частицу в данном месте“. Волновая функция полностью описывает динамическое состояние частицы, т. е. определяет не только её состояние в данный момент, но и позволяет предсказать состояние в будущем.
В качестве моськи в микромире выступает классическая точечная частица. Её динамическое состояние, как известно, задаётся координатами и скоростью.
В качестве меры того, насколько существенно отличается смещённый пакет дебройлевских волн от исходного, выступает так называемый квантовый угол, известный математикам как метрика Фубини-Штуди (но здесь мы не будем вдаваться в такие математические тонкости).
Как следствие двух описанных выше подходов, существенная пространственная протяжённость волнового пакета может быть качественно описана двумя разными принципами: принципом неопределённости и принципом определённости.
Принцип неопределённости можно сформулировать в настоящее время следующим образом:
Если попытаться описывать динамическое состояние квантовой частицы методами классической механики, то точность такого описания принципиально ограничена. Классическое состояние частицы оказывается плохо определённым.
Принцип определённости же можно сформулировать так:
Если описывать динамическое состояние квантовой частицы (системы) методами квантовой механики, то квантовое состояние частицы (системы) оказывается хорошо определённым. Эта определённость квантового динамического состояния означает, что „малые“ пространственно-временные преобразования не могут существенно менять квантовое состояние.
Оба принципа представляют не просто какую-то туманную философию о неопределённости и определённости, но имеют вполне строгие математические формулировки в виде следующих неравенств:
При этом детальный анализ показывает, что принцип неопределённости, в математическом плане, является строгим следствием принципа определённости. Но не наоборот! То есть принцип определённости является более общим.
Более того, с точки зрения релятивистской квантовой теории, принцип определённости оказывается ещё и более фундаментальным. Это связано с тем, что у релятивистских квантовых систем само понятие координаты является проблемным.
В теории относительности пространство и время оказываются очень тесно связанными понятиями. И отсутствие такой наблюдаемой (в смысле квантовой механики), как координата, оказывается тесно связанным с отсутствием такой наблюдаемой, как время.
В нерелятивистской же квантовой механике этой связи проследить невозможно. В связи с этим имел место интересный исторический курьёз.
Классики квантовой механики долго безуспешно искали математическую формулировку для соотношения неопределённости для величин энергия - время. Общие соображения, связанные с теорией относительности, указывали на то, что такое соотношение, как-будто, должно существовать.
Наконец, в 1945 году Мандельштам и Тамм предложили соотношение, которое, как им тогда казалось, как раз и является искомым. То есть в приведённой выше таблице они разместили бы его в левом столбце, а не в правом.
И в этом нет ничего удивительного. Ведь релятивистское каноническое квантование тогда ещё не было известно, и про существование правого столбца никто не догадывался.
В настоящее же время мы можем сказать, что более фундаментальным является именно правый столбец. Существование же левого связано со специфическими особенностями нерелятивистского приближения.
Домой