Релятивистское каноническое квантование:
Вопросы и ответы

Д. А. Арбатский

Май 2005 г.
(дополнено в мае 2006 г.)

Аннотация

Что такое „релятивистское каноническое квантование“?

Релятивистское каноническое квантование (РКК) — это современный метод конструирования („квантования“) релятивистских квантовых полей из полей классических, описанных на языке инвариантного гамильтонова („канонического“) формализма.

Этот метод обладает следующими особенностями:

• Квантование производится конструктивно. Свойства квантованного поля (например, коммутационные соотношения) при этом не постулируются, а вытекают из самой конструкции. Соответственно, можно говорить, что в этом случае мы имеем дело с „представлением“ релятивистского канонического квантования.
• Конструкция явно релятивистски-инвариантна.
• Метод даёт возможность увидеть, каким образом у квантовой системы появляются те же интегралы движения, связанные с наличием группы симметрии, что и у исходной классической системы. Таким образом, удаётся сформулировать математически строгий квантовый аналог теоремы Нётер.
• Метод позволяет также по-новому увидеть происхождение дискретных симметрий. В том числе антиунитарного преобразования обращения времени.
• Данный метод включает в себя совершенно естественно возможность квантования в пространстве с индефинитным скалярным произведением.

Более конкретный ответ на данный вопрос дан в обзоре Что такое „релятивистское каноническое квантование“?.

Подробное изложение дано в статьях О квантовании электромагнитного поля.

Не является ли РКК переизложением вторичного квантования в пространстве Фока в других терминах?

Для целей современной квантовой теории поля метод вторичного квантования в пространстве Фока следует считать неудовлетворительным.

На заре квантовой теории поля казалось (и Фок исходил из этого), что волновая функция является математическим объектом, органически присущим одной квантовой частице. Дирак даже уравнение для электрона предложил, исходя из этих соображений.

Позднее, однако, стало ясно, что это неверно.

Квантованное поле нельзя определить, опираясь на теорию одной квантовой частицы. Ведь если нет формального метода (в рамках теории Вигнера-Макки) для введения волновой функции, то (по Фоку) невозможно и формально ввести локальные операторы квантованного поля. В связи с этим, хотя некоторые конкретные квантовые поля уже вполне корректно сконструированы, следует понимать, что за этими частными построениями раньше не стояло никакой общей абстрактной математической схемы.

Метод РКК полностью решил эту проблему. Оказалось, что, с абстрактно-алгебраической точки зрения, квантовые поля являются объектами, производными по отношению к классическим полям (описанным на языке инвариантного гамильтонова формализма), а не по отношению к квантовым частицам.

Значит ли это, что конструкция Фока неправильна?

Нет. Она правильна в той мере, в какой она вытекает из конструкции РКК.

РКК конструирует квантовые поля из классических, т. е. выводит свойства объектов квантовых из свойств объектов классических. Можно ли такую ситуацию считать удовлетворительной с методологической точки зрения?

Нравится нам это или нет, но с появлением метода РКК мы вынуждены признать, что вся квантовая теория поля оказалась не настолько „квантовой“, насколько нам хотелось бы думать. Человечеству пока что просто не хватило фантазии отойти достаточно далеко от старых идей.

Наверно, тут уместно вспомнить слова Дирака о квантовой теории поля:

„Нам нужна какая-то новая математика, столь же поразительная и непохожая на то, к чему мы привыкли, как некоммутативная алгебра Гейзенберга во времена, когда физики всё ещё работали с боровскими орбитами.“

Чем неудовлетворителен формализм Гупты-Блейлера? Что нового дал метод РКК для квантования электромагнитного поля?

„Формализм“ Гупты-Блейлера может именоваться этим словом лишь по причине своей формальности. Он даёт определённые формальные соотношения для „операторов“ квантованного электромагнитного поля, но при этом не даёт конкретного ответа на вопрос, в каком функциональном пространстве и как именно соответствующие символы действуют. Иными словами, он не определяет представления.

Конечно, и до метода РКК всё было не безнадёжно плохо. Опираясь на аналогию со скалярным полем, физики давно определили, как действуют „операторы“ в „пространстве волновых функций“. При этом „пространство волновых функций“ фактически оставалось неопределённым, как функциональное пространство.

С появлением метода РКК стало очевидно, что гильбертовость пространства состояний — всего лишь предрассудок, за который физики упорно цеплялись по привычке. Как оказалось, в некоторых случаях можно (хотя и не обязательно) обходиться гильбертовым пространством. А вот в случае электромагнитного поля всё обстоит совершенно иначе.

Следует также отметить, что метод РКК позволил совершенно по-новому осмыслить вопросы калибровочной инвариантности и проблему неоднозначности выбора лагранжиана.

Почему в статьях О квантовании электромагнитного поля так мало внимания уделяется различению обычных и обобщённых функций? Ведь известно, что операторные амплитуды квантованного поля в заданной точке пространства-времени не являются хорошо определёнными операторами.

Когда-то Бору и Розенфельду пришлось прибегнуть к очень тонким физическим рассуждениям, чтобы доказать этот факт. С точки же зрения метода РКК это очевидно и никак не отражается на математической строгости построений.

Представляется важным отметить также, что статья Бора и Розенфельда отнюдь не устарела с появлением метода РКК. Ведь метод РКК исходит из конкретной абстрактной схемы; и неопределённость локальных операторов (без результатов Бора и Розенфельда) вызывала бы недоумение.

Приложим ли метод РКК к нелинейным полям и к взаимодействующим полям?

Во „Вводных замечаниях“ к статьям О квантовании электромагнитного поля сказано: „нелинейные поля мы квантовать не умеем“.

Что же касается применения метода РКК к формальным рядам теории возмущений, то делать это не только можно, но и нужно.

Как связан метод РКК с методом функционального интеграла?

РКК — это дерево. Метод функционального интеграла — одна из его веток (меннее строгая, пока). Тот факт, что исторически сначала была обнаружена ветка, а потом дерево, не должен сильно удивлять: в густом тумане всякое возможно.

  Домой